Antwort auf:
Das Internet sagt, die Pilgerreise darf zu einer beliebigen Zeit erfolgen. Also gibt es wohl kein "während der Hadj"

Hajj kann nur während der ersten zehn Tage des Monats dhu-al-hijja vollzogen werden (also genau zum jetzigen Zeitpunkt)! Was "das Internet sagt" meint höchstens Umra, die kleine Pilgerreise, die zu jeder Zeit gemacht werden kann.