...Ist es wirklich so? Gilt es auch nach 3 Jahren in Deutschland, wenn man so gesagt unbefristete AE bekommt?...

Wie es der Name schon nahelegt, es ist eine Erlaubnis, sich in diesem Lande aufzuhalten - wer das nicht tut, der braucht sie offenbar nicht und sie wird demjenigen dann entzogen bzw., näher an der Realität, danach nicht mehr weiter verlängert.
Erst wenn man die deutsche Staatsbürgerschaft hat, dann kann man das Land so lange und oft verlassen, wie man es will. :-)