Hallo Andrea,

nein, das muss keine unbefristete sein. Dein Mann muss nur eine gültige Aufenthaltsgenehmigung für Deutschland (oder anderen Schengenstaat) haben und eine gültigen Reisepass, damit kann er bis zu 3 Monaten pro Halbjahr in die anderen Schengenstaaten reisen (sog. Kurzaufenthalte). Anders ist es bei Asylbewerbern, Duldung oder Betretenserlaubnis, aber darunter wird dein Mann ja nicht fallen!
Solltest du dich noch ganz detailliert damit auseinandersetzen wollen, dann gibt es dafür das Schengener Durchführungsübereinkommen (SDÜ) .

Diese Staaten könntet ihr also ohne Probleme bereisen: Mitgliedstaaten des Schengener Abkommens:
Belgien, Dänemark, Deutschland, Frankreich, Finnland, Griechenland, Italien, Island, Luxemburg, Niederlande, Norwegen, Österreich, Portugal, Schweden und Spanien (inkl. Canaren)