Hallo, im Aufenthaltsgesetz steht wie folgt:

§ 51 Beendigung der Rechtmäßigkeit des Aufenthalts; Fortgeltung von Beschränkungen

(1) Der Aufenthaltstitel erlischt in folgenden Fällen:
...
6. wenn der Ausländer aus einem seiner Natur nach nicht vorübergehenden Grunde ausreist,

7. wenn der Ausländer ausgereist und nicht innerhalb von sechs Monaten oder einer von der Ausländerbehörde bestimmten längeren Frist wieder eingereist ist,
...
(hab die hier nicht relevanten Punkte weggelassen).

Das bedeutet schon, dass Dein Mann seinen Aufenthaltstitel verliert (und zwar unabhängig ob befristet oder unbefristet) und bei jeder Einreise ein Visum benötigt. Wie schnell oder unproblematisch das geht, weiß ich leider nicht. Das sollte jemand posten, der es schon erlebt hat.

Ich wollte noch nachgucken, wie es sich in so einem Fall mit der Verpflichtungserklärung verhält, hab aber leider grad keine Zeit mehr. Vielleicht weiß es ja jemand anderes?

Viel Glück